大学内に掲示板のポスターとして数学の問題を今年から張り出しました。こちらのページでは問題の解答例を更新していきます。

平成二十九年七月

問題
「任意の自然数nに対して、0以外のnの倍数の中で1と0のみで表せられる数が必ず存在することを示せ」

解答
集合Sを次のように定める.
S = { 1 、11、111、・・・、1•••1 }
(1を1個並べた数、2個並べた数、3個並べた数、と続いていき、(n+1)個並べた数まで集めた集合)
Sの元に対してnで割った余りを考えると、出てくる余りの通り数は高々0,1,2,・・・,(n-1)のn個.一方、Sの元の個数は(n+1)個.鳩の巣の原理より、nで割った余りが等しい元が少なくとも2つ存在する.余りが等しい元を
a = 1•••1 (1がa個並んだ数)
b = 1•••1 (1がb個並んだ数)
とすると、a-bはnの倍数になり、その数は
1•••10•••0 (1がa-b個並んだ数の後ろに0がb個並べた数)となる.
よって、任意の自然数nに対して、0以外のnの倍数の中で1と0のみで表せられる数が存在することが示せた。





更新状況

2017/7/19

問題の解答を追加

2017/7/11

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2017/7/4

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