以前の活動はこちらにまとめてあります。

 

現在は水曜は3年生を、木曜は2年生を中心にゼミをしています。

7/18 (火) 問題作り

7/11(水) 互いに素と二乗和のつながり?

こんにちは!?BFです。

テストが迫ってきた今日この頃、1年生は来る時間がないのかな~??

 

今回は、前から先生から出されていた問題を解くことができました。

問題は、「任意の自然数m、nが互いに素な確率は6/π^2を示せ」

6/π^2と聞いて思いつくのは、自然数の逆数の二乗和の収束値がπ^2/6であること。この値の逆数だな~と感じていたが、諏訪さんと一緒にやってやっと解けました!

その後、Scratchでプログラムを作り計測してみたら、プログラム上でも一致していた。二つの自然数が互いに素な確率は半分以上もあるんだな~と少し意外な感じがしました。

 

ホワイトボードに消せずにいた問題がやっと解けてよかったです!

7/4 (火) 連分数のいろいろなお話

こんにちは、BFです。
今日は台風3号が近づいてきたため?1年生は現れず......次週に期待ですね!

今回は、連分数にまつわる話を先生からいくつかしてもらいました。
一つ目は、連分数展開の中で満たす漸化式、その漸化式を満たすxの多項式を連分多項式というらしい。それは、標準内積とは違った定義の内積を用いて表されることもあり、追うことがままならなかったです...
二つ目は、有理数からもっとも遠い無理数とみれる黄金数の話。y=g*x + a  (g:黄金数、a=0、±1)の直線を考え、y=g*x ±  1  の範囲に入っている各格子点からy=g*xに垂直に線を下ろしy=g*xの直線を分割していく。その時に分割された各線分の長さはたった2種類しかなく、その2種類の長さの並び方は循環することなく並ぶ列になっている。傾きgの直線を考えるだけで、おもしろい性質をみつけられることに驚きでした。

連分数の話はいろいろな場面で出てきている。連分数は不思議な操作であるなと感じる。連分数をみんなで考えていきたいです。

6/27(火) 連続自然数の和から

こんにちは、BFです。約1年ぶりの更新になりますが、Sigmaは活動中です!

 
今日は、1+2=3、から始めました。
当たり前の式ですが、自然数がきれいに左辺と右辺で連続で並んでいます。他にはどういったものがあるか、探してみたところ、なぜか見つからずプログラムを作って探した結果、簡単なものが見つかった(見落としていました汗)。その例は、
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14=15+16+17+18+19+20
でした。
こういった連続自然数の和の等式は他にも存在するのか、あるとしたらどういう数が境目になっているのか、いろいろ検討していきました。
 
結果、ペル方程式と呼ばれるものに出会い、また、連分数に関する無理数の有理数近似のお話まで広がっていきました。連続自然数の和から広がって面白かったです!
 
また、定期的にHPを更新していきます!
 

5月19日(木)バルビエの定理

こんにちは!? UGです。

 

今日はかの有名な諏訪大先生がバルビエの定理について説明してくれました。

 

バルビエの定理というのは、幅が等しい定幅曲線の周の長さは等しいというオシャレな定理です。

 

定幅曲線の例としては円やルーローの三角形がわかりやすいです。

転がしても高さが一定な図形のことです。

 

証明にはフレネの定理など微分幾何の知識をフル活用しました!

4月27日(水)分数近似にまつわる話

こんにちは!諏訪です。

今日はSigmaのエース「よっ!」君が、プログラミングを用いて、分数近似にまつわる話をしてくれました!

 

まず最初に、円周率πを例に、連分数展開の方法を教えてくれました。また、連分数展開から無理数の近似分数が得られることを確認しました。πの有名な近似分数 22/7 や 355/133 も連分数からちゃんと得られました!

 

つぎに x=k・cos(2π・a・k) , y=k・sin(2π・a・k)という関数を使っていろいろな数の性質を見てみました!関数のkには自然数が、aは任意の実数定数です。kに入る値が離散的なので、点をプロットするような関数ですね。

 

この関数は、aが有理数や√3、πなどの無理数のときは腕状構造をつくるんですが、aが黄金数(1+√5)/2ときは腕状構造をつくらないことをみんなで確認しました!この結果は、黄金数が精度の高い近似分数を持たないことを意味していて、黄金数の連分数展開とも深く関わっていることも教えてくれました!

 

なにをかいているのかわかりづらいと思いますが、とにかく内容盛りだくさん、発見盛りだくさんの講義でした!

4月20日(水)フーリエ級数

 

こんにちは、「よっ!」です。

 

今日はフーリエ級数についてやりました。

また、応用でバーゼル問題の証明もやりました。

新入生も来てくれてよい感じです\(^〇^)/

4月14日(木)コンピュータは引き算できない!?

こんにちは!諏訪です。

なんと今日も1人新入生が見学に来てくれました!やったー(\^〇^/)

 

今日の活動は10君がコンピュータの計算についての話をしてくれました!

 

見出しにもあるように、実はコンピュータは引き算ができないんです!

コンピュータは2進数で計算しているのですが、引き算を負の数の足し算として計算しているそうなんです。 例えば 7-5 を 7+(-5)  のように…。

 

そこで必要になるのが負の数の2進数表示!10進数の5は(4桁で)0101ですが、10進数の-5を0と1だけで表したいというのが今日の本題でした。

 

結論を言うと、0101の0と1を入れ替えて1010、さらに1を足した1011が-5の2進数表示なんです!5+(-5)=0101+1011=10000だけど右4桁だけ見ればちゃんと0になりますよね(汗)

 

右4桁だけを考えるとか、コンピュータの世界だけで成り立つ計算があってとても興味深い内容でした。コンピュータが限られた能力の中で工夫して計算していたというのもすごく印象的でした。

4月13日(水)クサオリにて、ついに新入生が!

2年生の10です。

 

今日はクサオリで、1年生が4人来てくれました!

2進数で表せば100人ですよ!

100人!!!!

 

宇宙物質・情報科学・数学と、いろいろな学科から来てくれました。

みなさんで数学を楽しんでいきましょう!

4月6日(水)3次方程式の解の公式

こんにちは!そして新入生のみなさん、ご入学おめでとうごさいます!!

副会長になりました、諏訪です。

 

新学期1発目のゼミは、UG君が3次方程式の解の公式の導出を解説してくれました!

 

おおまかには、3次方程式をx^3+ax^2+bx+c=0とすると

 x+a/3 → X → s+t

と変数変換、s,tを決定し、矢印を遡ってxを記述するという流れでした。

 

X → s+tの変数変換を最初見た時は、なんであえて変数を増やしちゃうのだろうと思ったのですが、なぜかうまくいくんですね~。

この変数変換の意味についてはもっと調べてみたいなあと思いました。

 

ただ、証明全体としては数Ⅰで習う”平方完成”をまねた「立方完成」という操作や、数Ⅱで習う”解と係数の関係”を用いたりと、高校の知識で理解できるおもしろい証明だと思いました!

12月17日(木)整列原理

こんにちは、板倉です。久々の更新ですね、ちゃ、ちゃんと普段もイベント以外にも活動はしてますからね(汗)

 

さて、今日は整列原理という原理の実用例をUGクンが発表してくれました!なかなか抽象的でイメージを持つのが難しかったのですが、数学的帰納法をイメージしてみたら大方捉えられました。それと、数学の中で「コンパクト」とい表現があるのが印象的でした。

4月8日(水)新学期スタート!

初めまして!新入生のBFです。


今日はゼミで、なるべく多くの人が自分の帽子(赤or青)がどちらかを自分のを見ずに判別する方法を考えました。(ちなみに問題の本では間違えた人はと死ぬという設定…)


私にとっては初ゼミで何をやるのかわかりませんでしたが、みんなでがやがや楽しく答えを出し合っていました。

結論としてはほとんどの人が生き残るけど一番最初に答える一番後ろの人だけは運任せ、1/2の確率でした。一番最初に答えることになる確率はいくらになるのだろう?


写真の様子は、置いてあったペンを使って実際に試してみたときのものです。


1月29日(木)教務課の策略を数学せよ

お元気ですか。テストの苦しみから解放されたUGです。

今回はかの有名な新藏先輩が「学生の人数とサークルの数の関係性」について発表してくださいました。

はじめは全体の学生の人数やサークルを掛け持ちしている人の人数などを具体的に設定して考えました。そこからおよその関係性を推測し、一般化したものを証明しました。

証明で使った知識は、意外にも1年で習う線形代数の知識!思わぬところで行列の便利さを実感できて嬉しかったです。

数学をいかにして現実の問題に役立てるか、今後も新藏先輩から目がはなせません。

1月28日(水)人の発想力とは

こんにちは。新藏芳紀です!


今日は前会長の弟くんがζ(s)の定数項について発表してくれました。


突然ですが

γ=lim(N→∞)(Σ(k=1 to N)k^(-1)-logN)

っていくつになると思いますか?(見にくくてごめんなさい)


色々計算するとγ=0.57721…(反転)になるらしいです!


実は、ζ(s)をs=1のまわりでローラン展開した時の定数項がγになるんです!!


証明の方法としてはオイラーの和公式によりζ(s)を表示して極限を求めるという感じでした。


今日のお話の中で特に感動したのは

Σ(k=1 to N)k^(-1)=∫(1 to N)[x]^(-1)dx+N^(-1)

(またまた見にくくてごめんなさい)

となる点です。


言われれば「まぁ、確かに・・・」となるのですがその発想は驚天動地のもので「人間の発想力って素晴らしいなぁ~♪」と舞い上がっておりました(笑)


今後も面白い話が聞けるのを楽しみにしてます!

以上、新藏芳紀でした!!

(・ω・)ノシ

1月8日(木)原始ピタゴラス数

あけましておめでとうございます!新藏芳紀です。年末年始はインフルエンザで寝込んでました(笑)


今日はがんちゃんが「原始ピタゴラス数」たるものについて話してくれました。

原始ピタゴラス数というのはピタゴラスの定理を満たす3整数で

その3つの数の最大公約数が1である数の組のことです。


ゼミでは原始ピタゴラス数の一般式を求めました!その形が中々綺麗だったので「数学っていいなぁ~」と大学生ながら思いました。


その後、a^2+b^2+c^2=d^2を満たす整数について一般式を求めようとしたのですが、a,b,c,dの偶奇性まで突き止めたところで進めなくなってしまいました・・・


う~ん、悔しい!

(~_~;)


というわけで、今年もよろしくお願いします♪

12月18日(木)素数の逆数を足してみる

お久しぶりです。みんなの人気者のポニョです。


来週、福山雅治のライブに行くことになりました。楽しみです(≧▽≦)


ラジオが終わっちゃうので、ショックです。


さてさて、今日は元会長が素数の逆数を全部足すとどうなるかについて発表してくれました。どうなると思いますか?


気になる人はシグマの一年生を捕まえて下さい。きっと懇切丁寧に説明してくれるはず‼


個人的には収束してほしかったなぁ。一年生にも分かりやすい証明でした。テイラー展開大事ですね❗一年生はちゃんと覚えるように。テストに出ますよ

(*`・ω・)ゞ

12月17日(水)シュタイナーの定理

どうも。新藏芳紀です!


今日はスッシーがシュタイナーの定理について教えてくれました。


シュタイナーの定理とは

「小円を大円の内部におき,この2つの円の中間に次々に接する円列を作る。もしも、完全な円環(最後の円が最初の円に接する状態)が作れたら最初の円をどこに選ぼうとも完全な円環をなす。」

という定理です。


証明の方針としてはみんなが大好きな複素数平面上で平行移動、逆数の変換を使って最初の小円、大円が同心円になるように変換します。その後に回転、逆変換を行うことで最初の円に重ねます。


自分的には素朴な定理に複素数平面がうまく使われている点が面白いと思いました!


今年の活動も来週で終わりなので少し寂しいです・・・

( ;∀;)

11月6日(木)「加法」とは何ぞや?

こんにちは!新藏芳紀です!!

今日は先週に引き続き、UG君がお話してくれました。


内容としては自分達がよく使っている「+」の性質を抽象化して「加法」を定義しました♪


その上で、定義された加法(写像)が実際に存在するということ、一意性があることを証明しました。証明の方針は既習内容だったので後は文字を駆使して証明しました!


次にUG君が発表してくれる時は「×」の性質を抽象化して「乗法」を定義してくれるのかな?期待してます!

(^_-)-☆

10月30日(木)自然数の深淵

元気ですか?微積マスターです

ヘ(^_^へ)
今日はUGくんが「ペアノの公理」について話してくれました!

…目の前に
無限な風呂敷とドミノがあったら
あなたは何をしますか?

こんな???な質問から始まって、気がつくと自然数の存在の話になっていました。
難しいけどかなり興味深かったです。
今日の活動は、自然数より濃度が小さい無限はあるのか、可算とは、0とは、そんな話題で溢れていました。

誰か…答えがあるなら教えてください……。

10月29日(水)VS数学検定準1級

仮装してハロウィンを楽しんでいました。前会長の弟です。


今回は「数学検定準1級」の問題を解きました。

と言っても普通に解くわけではなく、「大学数学を使って解こう」をテーマにやりました。

数列の収束の証明は、微積の授業以来でちょっと苦戦…

みなさん収束の証明おぼえてますか?

(僕は忘れてました)


整数の問題は、初等整数論の知識で証明!さらに行列式を絡めて線形数学を使いながら証明をすすめていきました。

問題を解くのは久しぶりでしたが、いろいろな解き方を考えるのが楽しいですね!

10月23日(木)3年生が帰ってきたので

こんにちは。諏訪です。


今日は新藏先輩の小学校算数の授業計画についてみんなで良い点、悪い点を話し合いました。

僕は知りませんでしたが、授業には山場がいるんだとか…。教師の仕事はやはり難しいですね。

貴重なお話が聞けました。

9月17日(水)ジェロームとエミリー

こんにちは。新藏芳紀です!

 

今日はかの有名なもりし大先生が「ジェロームとエミリーの問題」について話してくれました。ざっくり概要を言うと、ある立体(十分多い)を二種類の方法で塗り、どちらが異なる種類の立体を多く作れるか?というものです。

 

立方体の様な簡単な図形なら気合で求めることができるのですが、一般的な立体の場合には群論を使って話が進んでいきました。

 

具体的には今までに勉強した準同型、部分群に加えて、軌道や固定部分群を定義して数え上げ定理や軌道ー固定部分群定理を用いて塗り方のパターンを一般化しました。

 

代数系の話は好きなので楽しかったです(笑)

9月10日(水)Hausdorffなお話

こんにちは、もりしです。
今日は新藏君が位相空間の分離公理について話してくれました。

いろいろな性質を持つ位相空間を見ていく中で、具体例を作ることの大切さと難しさを感じました。定義を見て「そういうかんじねー」と思ってもいざ具体例は?と聞かれるとなかなか出てこないのが悔しいところです。

続きが楽しみです♪

9月3日(水)メルセンヌ数とフェルマー数

こんにちは。UGです。
今日は、がんちゃん先輩がメルセンヌ数とフェルマー数と、あと、その他○○数と名前がついている数について発表してくださいました。

メルセンヌ数は2のn乗から1をひいた形の自然数のことで、フェルマー数は2の、2のn乗に1を加えた形の自然数です。

今回、これらの数についての定理の証明をしました。飛び出す二進数、熱がはいる説明。なんとか僕も理解することができました!

おまけでやった○○数については、自分は友愛数がお気に入りです。異性どうしの友愛が育まれる日はくるのでしょうか。

以上です。

7月11日(金)群と部分群

こんにちは。新藏芳紀です!

今日はかの有名なもりし大先生が部分群について説明してくれました。

 

今回は部分群の中でも特に「2の倍数全体の集合」等と言った巡回群についてやりました。

 

2の倍数全体は2のn乗の形をしていますよね。そのことを「2によって生成される」と言います。

 

「xによって生成される部分群」と「xを含む最小の部分群」が同じということの証明で自分は「あれ?示せない・・・」となっていた部分が実は自明なことに気づかないという醜態をさらしました(笑)

 

上記の証明で、一見全く違うものに見える集合が同じということが分かって改めて「数学ってすごい!!」と思いました。

 

次回も楽しみです♪

7月9日(水)rを求めるのに苦戦

こんにちは。がんちゃんです。
今日はダーキーが和算について発表してくれました。


最初にウォーミングアップとして、円陣の問題を解きました。(写真左参照)円陣は魔法陣に似た形で、小学生でも考えることができるレベルだったので、楽しく解くことができました。

 

そのあと緒方丁さんの「天地明察」に出てきた、円と三角形の図形問題に取り組むことに…。(写真右下参照)

最後には、三平方の定理の証明まで示せて感動しました!


江戸時代の問題が長い年月をかけて現代まで伝わったかと思うと、歴史を感じますね。

7月4日(金)そうだ。群論をやろう。

巷で噂の高女子力男子、ポニョ(*`・ω・)ゞです
お菓子を食べる、作るが大好きです。

 

今日はかの有名なもりし大先生が『群』の初歩について説明してくれました。途中証明に詰まることもありましたが、『群』について振り返ることができて良かったです。

6月25日(水)この15パズルは解ける?

こんにちは、4年生の1人です。

 

今日は、がんちゃんが『15パズル』について発表してくれました。

 

15パズルは、最初の配置によっては解くことができない場合もあるんですね。

その理由を、置換に触れながら分かりやすく説明してくれました。

 

実際にあるパズルにも数学を使うことによって解けるのか説明することができていて、改めて身近なところに数学が隠れているように感じました。

 

次は、ルービックキューブなどにもチャレンジしたいですね。

6月18日(水)RSA暗号と整数論

こんにちは。がんちゃんです。

 

今日はウォーリーがRSA暗号の話をしてくれました。RSA暗号は大きな数字の素因数分解を用いた暗号で、インターネットにも使われています。

 

初めに仕組みを習い、そのあと実際に暗号を利用して文章を作ってみました。最後に証明に挑戦しましたが、あと一歩及ばず…(T_T)
けれど、2年前期の初等整数論で習った合同式(mod)が身近なところに使われていることを知り、嬉しかったです。

6月13日(金)作図不可能な図形!?

こんにちは。弟です
今日の発表はナルさんの担当でした

テーマはあの有名な「三大作図不可能問題」
それぞれ
1.与えられた円と等しい面積をもつ正方形を作る円積問題
2.与えられた立方体の体積の 2 倍に等しい体積をもつ立方体を作る立方体倍積問題
3.与えられた角を三等分する角の三等分問題
というものです。

実は3つ目の「角の三等分」は作図としては出来ないものの
「折り紙」を使うと出来ちゃいます!!

後半は作図のルールを少し変えたら3つの問題が作図可能になるのか考えてみました
作図には
・有限回の操作で行うこと
が決められていますが、このルールを変えると...
無限回作図して「π」の長さを正確に描けるようになる!(”理論上は”)

他の数学の問題でもルールを変えてみると
面白い発見があるかもしれませんね

6月11日(水)ときめき!ホモロジー群

こんにちは!微積マスターです(*^^*)
今日は簡単なホモロジー群の計算を行いました。

そうです。

あのホモロジー群です!!

ホモロジー群は位相不変量のひとつで、学びを深めていくと面白い分野です。ただ今回は簡単のため、扱ったのは二次元の複雑でない三角形だけでした。

私もドキドキしながらホモロジー群の計算をしてみることに…
定義に従って三角形の表示を変えます、
準同型定理を使います、
集合同士の割り算をします、
これ難しい。:゚(。ノω\。)゚・。 ウワァーン

再履修者の苦悩をよそにオープンキャンパスの話もちゃくちゃくと進んでいました。良いものになりそうな予感。

来週はI先生の授業にSigmaが乱入!?お楽しみに!!

6月6日(金)群論への招待

松井が報告します。今日は、正四面体や、正六角柱、正十二角錐を用いて群論の導入をしました!発表者はもりし先輩です。導入だったので、今回は深いところまではやりませんでしたが次回が楽しみです!!


後、掛け算の意味や、足し算掛け算が混じった式を計算する際の順番についても考えました。小学生にどうやって分かりやすく伝えるか、考えたら少し憂鬱ですが深めていきたいです。 以上です。

6月4日(水)四次方程式

もりしです。今日のゼミでは大学入試問題を解きました!


内容は複雑な4次方程式を解くというものです。試しにグラフを書いてみるとひょろっとした放物線が描かれ「あ、答え実数じゃないんだ(泣)」と気づき、真っ向から解くことに。


かつてゼミでやった3次方程式の解の公式に出てくる「チルンハウス変換」なるものを思い出し使ってみたところ見事に有効で、コツコツ計算して無事に答えを出すことができました。

 

大学入試だからってナメれない未熟者ですが、高校数学も大学数学も楽しんでいけたらいいなぁと改めて思いました。

5月2日(金)新入生登場~!

こんにちは。新藏芳紀です!

今日は・・・なんとなんと!新入生が来てくれました~!

 

こまつは等分除、包含除等について、自分は微分と貯金の関係(少し強引)をお話させてもらいました。

 

途中、はしのすけさんから教採で「2の倍数」と「偶数」の違いって何だろう?という質問が出たという話を聞いたのでみんなで考えました。

 

数学の集合としては同じですが「余り」がキーになってくるのが偶数なのではないか?という結論に達しました。(教採的には「0」が入るのが偶数、入らないのが2の倍数という結論でしたが・・・)

 

教採も変な問題だすよなぁ・・・それだけ算数嫌いのこどもが多いってことなのかな?

4月18日(金)単体・複体・多面体!

こんにちは!新藏芳紀です。

今日は新入生が一人来てくれました!

彼のリクエストで自分が単体・複体・多面体についてお話しさせていただきました。

 

ざっくり言うと

 平面上の多面体は適当に分割して三角形にできる

→逆に適当な三角形から多面体を作れる

→平面図形を作る材料は三角形

→じゃあその材料(=単体)について研究しよう!

というモチベーションです。

 

一年生には多少難しかったのですが、イメージも使い進めていきました。

 

今年もこの調子で頑張っていきたいと思います!

5月は行事が多いので次にここに書き込むのは6月以降かな?

更新状況

2017/7/19

問題の解答を追加

2017/7/11

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2017/7/4

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